探索黎曼猜想获证

时间:2022-05-06 09:44:31

陈红发

chf1919@sina.com

摘要:根据数的密度服从正态分布,利用素数和合数的概率密度叠加,获得黎曼猜想RH命题证明,并且推出素数计数精确公式。

关键词:黎曼猜想,正态分布,概率密度,量子力学,素数计数

Explore the Riemann hypothesis is proven

Chen Hongfa

chf1919@sina.com

Abstract : According to the number density is normal distribution, the superposition of the probability density using the prime Numbers and sum Numbers for Riemann hypothesis RH proposition proof, and the prime number counting precision formula.

Key words : the Riemann hypothesis, normal distribution, the probability density, quantum mechanics, prime number counting

1.提出问题

黎曼猜想RH的三个命题,是个涉及具有递进式的素数分布问题,归结为ζ函数的所有非平凡零点实部Re=0.5。求解证明相当复杂,一直局限于余项残差的精确纠缠,至今尚未获得有效进展,不过指明了探索方向去开拓新的领域,令人追求不息。为此另辟蹊径,从素数概率密度视角开展解析。

2.研究方法

高斯是黎曼的导师,而黎曼的“证明从略”应是基于高斯(正态)分布,从此构造累积计数概率辅助函数;利用概率加法和素数性质集合关系,求出素数分布计数概率函数方程。

2.1素数性质

素数P概念描述是一个大于1的自然数N,除了1和它自身外,不能被其它自然数整除的数。素数积构成合数C,因此个数的集合关系:

{自然数N}={0,1}+{素数P}+{合数C},即个数N=2+P+C              (1)

2.2正态分布

将自然数N倒数的密度序列从大至小采用左右分布排列,其中素数P、合数C密度采用同理方式,当自然数充分大时,其形态结果基本服从正态分布。但是受到数的个数奇偶影响,奇数时左右对称,偶数时左右相差1个。因数间相互独立,利用概率原理构造辅助函数,即累积计数概率函数关系:

P(N)=1-∏(1-Ni-1)=1-e^(∑ln(1-Ni-1))

通过ln(1-Ni-1)泰勒级数展开,各项呈正负交错,忽略高阶无穷小量余项近似为-Ni-1,并且令∑(-Ni-1)=-L/T,其中L为i总数、T为Ni调和总数,从而得到累积计数概率函数方程通用表达式:

P(L,T)=1-e^(-L/T)                                                   (2)

2.3素数密度

基于自然数N=L总体与局部关联,考察其中素数P、合数C的密度相互独立正态分布叠加,主要存在个数奇偶组合4种状况偏离和拖尾部分差异,必须引入参变量G修正不失保真性,并且可以确定阈值G∈(0,4)。利用(1)(2)式根据概率加法公式,联立求解方程:1-G/N=P(N,P)+P(N,C)- P(N,P)P(N,C),推出如下关系:

1-G/N=1-e^(-N/P-N/(N-2-P))

P/(N-2)=0.5±√(0.25-N/(N-2)/ln(N/G))                              (3)

上式中取(-)为素数概率密度、取(+)为合数概率密度,相互呈现共轭性。分析定域参变量G区间变化,微量局部扰动效应表明,产生素数计数呈现阶梯状分布逼近真实情况,步宽具有一定的周期性。

3.命题获证

将(3)式素数密度函数方程,从实平面通过解析延拓为复平面关系:

P/(N-2)=0.5-√(N/(N-2)/ln(N/G)-0.25)i                              (4)

响应概率密度的量子归一化,即N/(N-2)/ ln(N/G)=1,从此(4)式推导出素数密度:

P/(N-2)=e^(2kπ-π/3)i,说明素数分布存在无穷多个并且具有周期性。

由(4)式复函数可知,实部Re=0.5恒定,故黎曼猜想RH命题获证。虽然忽略高阶无穷小量的近似处理,但是引入参变量G,总体仍然保持正态分布特性,其实是属于一种弱证明方法,最大的贡献是采用简单的正态分布模型,获得结果的证明。

4.推理结论

针对(4)式复函数方程,根据量子力学原理,复函数模平方为概率密度,可以推导出素数密度

丨P/(N-2)丨2= N/(N-2)/ ln(N/G),从而得到素数计数函数方程:

P= N/ ln(N/G)                                                       (5)

上述表达式与高斯、勒让德的素数定理同构,具有殊途同归之妙的一致性。比较素数密度(3)、(5)式大小关系,P3-P5=(0.5-√(0.25-N/(N-2)/ ln(N/G)))-(N/(N-2)/ln(N/G))=(0.25-√(0.25-N/(N-2)/ ln(N/G)))2>0,表明(3)式比较精度高,更接近素数计数π(N)真实值,以此相等反求参变量G。经数值计算分析G见下表所示

N

π(N)

G5

G3

10

4

0.820849986

0.053903576

103

168

2.599643516

0.777677471

105

9592

2.967058336

0.981601093

107

664579

2.918225116

0,999786218

108

5761455

2.897806334

1.002821017

1010

455052511

2.858694683

1.002694038

1013

346065536839

2.821716612

1.001499452

1017

2623557157654233

2.794792213

1.000815672

1027

16352460426841680446427399

2.764668068

1.000296315

针对自然数N,考察参变量G呈现伽玛曲线簇其中一类变化规律,其中G5始于0而于N=105附近最大略低于3,又随N增大G5趋近于e,即G5∈(0,3)阈值; 而G3始于0而于N=108附近最大略超过1,又随N增大G3趋近于1,即G3∈(0,1+)阈值。结果表明G3与G5近似自然对数关系,并且初步判断统一于函数G=xe^(-x/π(x))cos(θ)类型,有待后续求证;参变量G阈值从(0,4)向(0,3)至(0,1+)逐渐逼近,因此当N充分大时,可以取G=1,由(3)式化简推出素数计数精确公式:

P=(N-2)(0.5-√(0.25-N/(N-2)/lnN))

验证当N=1027时,P/π(N)=0.9999951534,相对误差偏小4.846×10-6为估计允许,完全取决于参变量G阈值的取值精度,优于方法(5)式的估计精度,约为3375倍。

遵循参变量G阈值进程归一化的归宿G=1,终于明白G的神秘。哦我的神,源自高斯或者伽玛(Oh my God,from Gaussian or Gamma)。

                                                                         20220412天安和景

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