中考冲刺:初中几何压轴题-翻折问题

时间:2022-05-03 20:27:18

几何压轴题:

几何综合题或压轴题本身就是在基本图形或模型的基础上之上,根据命题的要求以及所学知识点的顺序,做到对不同学生进行有效评价。把不同条件和结论,按照知识点的逻辑顺序重新组合得到的。就像大厨做菜,食材摆在面前,大厨利用自身的经验和不断的尝试,不同的食材相互组合,甚至食材的所用顺序不同,最终做出的菜肴味道也不尽相同。当然无论是菜品还是几何压轴题,也不能仅仅是条件和结论的随意组合拼凑,几何压轴题应重在创新,体现出命题人对条件和结论的把握,条件和结论恰到好处的组合,能够引起大家思维上的共鸣。旨在让学生一方面利用常规思维,又要打破固定思维,达到一定的选拔性。

编题主线:

平时我们在出题时,主要是改编、创编以及新编。几何题目的出题常常沿着变情境、变条件、变结论、甚至是变条件和结论这样的主线来进行。

提升建议:

平时教师面对几何压轴题,应更多的注重分析过程,细品其中的基本模型图及结论,还应品命题者的意图,(这个和诗词鉴赏的过程类似,进入情境当中,分析作者的心境。)最后要参考课标,与课标要求的吻合度,与统考趋势的的吻合度。

问题:在数学探究活动中,小明进行了如下操作:如图,将四边形纸片ABCD沿过点A的直线折叠,使得点B落在CD上的点Q处,折痕为AP;再将△PCQ,△ADQ分别沿着PQ、AQ折叠,此时点C、D落在AP上的同一点R处.

(1)∠PAQ的大小.

(2)当四边形APCD是平行四边形时,求  的值.

分析:(1)根据翻折对称得全等,通过各角间的等量代换即可求得∠PAQ的值;

(2)先根据平行四边形的性质和(1)中的结论得到∠C=∠DAP=60°,再根据折叠的性质得到AB=AQ,将  转化为  即可求解.

解:(1)如图,由折叠的性质得

∠AQP=∠B,

∠C+∠D=∠PRQ+∠ARQ=180°,

∠DQA=∠RQA,∠CQP=∠RQP,

∵∠DQA+∠RQA+∠CQP+∠RQP=180°,

∴AD∥BC,∠B=∠AQP=90°,

∴∠BAD=90°=∠DAQ+∠QAP+∠BAP,

∵∠DAQ=∠QAP=∠BAP,

∴∠QAP=30°.

(2)当四边形APCD为平行四边形时,如图(动态演示)R为AP的中点.(后面有对应的逆命题总结)

∴∠C=∠DAP=∠DAQ+∠QAP=60°,

∴△PQR为等边三角形,QR=QP,∠RPQ=60°,

tan∠APQ=   ,

∵AB=AQ,∴  .

方法总结:有关图形的折叠计算,其解题思路:翻折对称⇨全等

①折:看怎么折,看折痕;

②等:看折叠图形中有哪些相等的线段和相等的角,找到折叠图形中的对称轴,注意:对称轴垂直平分关于对称点之间的线段;

③设:选择相等的线段或角,并设出未知数;

④列:即列出等量关系(方程),利用勾股定理,有时需要作垂线段构造直角三角形;

⑤比:用相似三角形来求线段之间的关系,常常在勾股定理无法解题时运用;

⑥解:解方程(勾股定理或相似三角形列出的方程).

结论总结一:

条件:在Rt△ABC中,∠C=30°,AD为角平分线,AD为折痕.

结论:E为AC的中点、AE=CE.

结论总结二:

条件:在直角梯形ABCD中,∠CAB=30°,∠ACD=60°,AC为折痕.

结论:Q为CD的中点、DQ=CQ.

结论总结三:

条件:Rt△ABC≅Rt△ADC,∠CAB=30°.

结论:A、B、C、D四点共圆(链接:共斜边的直角三角形共圆),DE⊥AB.

结论总结四:

条件:在直角梯形ABCD中,∠PAB=30°,AP为折痕,当B点与腰CD上的Q重合时.

结论:Q为CD的中点、DQ=CQ;AQ、PQ分别为∠DAP、∠CPA的角平分线(图①、②).

结论总结五:

条件:在直角梯形ABCD中,∠PAB=30°,AP、AQ、PQ为折痕,当B点与腰CD上的Q重合,D、C与R重合,R为中点.

结论:四边形APCD为平行四边形(图①).

      在初中几何学习中,要注意概念关、语言关、画图关、推理证明关四大关。善于静中找动,实现从特殊到一般的转化。动中找静,找到运动过程中不变的数学模型或规律,再从一般到特殊,利用临界情况解决问题。动静结合,其乐无穷!解决几何问题不顺手的原因是由于对基本的模型图及结论掌握不牢固,还有常见的几何解题方法不够熟练。本公众号作者潜心研究整理初中几何学习过程中常见的几何基本模型图及结论,如有错误或更好的思路,请大家不吝赐教。

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编辑 | 张旭

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